Jakie są własności liczby π ?

Dzięki temu, że poznaliśmy tak wiele cyfr rozwinięcia dziesiętnego liczby π , możemy przyjrzeć się jej dokładniej i badać jej własności. Okazuje się, że:

a) liczba π jest niewymierna – wiedzieli to już starożytni Grecy, a udowodnił ten fakt Johann Lambert w 1761 roku;

b) liczba π jest liczbą przestępną – czyli nie istnieje równanie wielomianowe o współczynnikach całkowitych, którego rozwiązaniem byłaby liczba π. Stąd niewymierność tej liczby jest bardziej skomplikowana niż niewymierność np. liczby √2 ; c) w rozwinięciu dziesiętnym liczby π występuje każda dowolna sekwencja liczb naturalnych, np. data bitwy pod Grunwaldem pojawia się po raz pierwszy na miejscach: 7767, 7768, 7769, 7770.

d) liczba π prawdopodobnie jest liczbą normalną, co sugerują dwaj matematycy Dawid Bailey oraz Richard Crandall. Na czym polega normalność? Chodzi o własność, że wszystkie łańcuchy liczb o tej samej długości występują z tą samą częstością, np. 345 pojawia się tak samo często jak 980. Jednak do tej pory jeszcze tej własności w odniesieniu do rozwinięcia dziesiętnego liczby π nie udowodniono.

e) po obejrzeniu miliona cyfr okazało się, że częstości występowania poszczególnych cyfr są bliskie 100 000.